Définition
\(\triangleright\) Définition de la vitesse de groupe d'une onde
On appelle la vitesse de groupe la vitesse de l'enveloppe d'onde.
$$v_g=\frac{d\omega}{dk}$$
START
Exo-Démo+
Déterminer l'expression de la vitesse de groupe d'une onde plane
$$E(z,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\tilde{E}(\omega) e^{i\left(k(\omega)z-\omega t\right)}d\omega$$
1i: Base des ondes planes
2: $$k(\omega)\backsimeq k(\omega_0)+\left.\frac{dk}{d\omega}\right|_{\omega-\omega_0}(\omega-\omega_0)$$
$$E(z,t)\backsimeq e^{i\left(k_0z-\omega_0t\right)}\int_{-\infty}^{+\infty}\tilde{E}(\omega)e^{i\left.\frac{dk}{d\omega}\right|_{\omega=\omega_0} \left(\omega-\omega_0\right)z-i\left(\omega-\omega_0\right)t}d\omega \quad \text{où}\quad k_0=k(\omega_0)$$
$$E(z,t)=e^{i\left(k_0z-\omega_0t\right)}\int_{-\infty}^{+\infty}\tilde E(\omega)e^{-i\left(\omega-\omega_0\right)\left[t-z\left.\frac{dk}{d\omega}\right|_{\omega=\omega_0}\right]}d\omega$$
2i: Hypothèse de l'enveloppe lentement variable, spectre \(|\tilde{E}(\omega)|^2\) est étroite devant \(\omega_0\)
3: La vitesse de phase \(v_\phi\) est la vitesse de ce qu'on appelle la porteuse \(e^{i\left(k_0z-\omega_0t\right)}\). C'est-à-dire, \(v_\phi=\frac{\omega}{k_0}\)
La vitesse de groupe \(v_g\) est la vitesse de l'enveloppe, donnée par l'intégrale. En identifiant la dépendance spatio-temporelle à \(t-\frac zv\), on obtient donc:
$$v_g=\left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{\omega=\omega_0}$$
3i: On identifie les différents termes \(v_\phi\) et \(v_g\)
END
Superposition d'ondes planes
\(\triangleright\) Vitesse de groupe d'une superposition d'ondes planes
Pour 2 ondes planes (\(k_1\), \(k_2\)), la vitesse de groupe de la superposition est:
$$v_{g}={{\frac{\omega_1-\omega_2}{k_1-k_2} }}$$
Si \(\omega_1\approx \omega_2\):
$$v_{g}\approx \left(\frac{\partial k}{\partial \omega}\right)^{-1}$$
Régime harmonique
\(\triangleright\) Vitesse de groupe d'une pseudo-onde plane
La vitesse de groupe d'une pseudo-onde plane est définie comme:
$$v_{g}={{\left(\frac{\partial\, \mathcal{Re}(k)}{\partial \omega}\right)^{-1} }}$$
Avec:- \(k\): le vecteur d'onde (complexe pour ce type d'onde)
- \(\omega\): la pulsation de l'onde
